Keskiarvolaskuri: keskiarvo, mediaani ja moodi

Keskiarvo, mediaani ja moodi

Kolme tapaa kuvata aineiston keskikohtaa. Ne antavat saman vastauksen tasaisesti jakautuneelle aineistolle mutta eroavat heti, kun mukana on poikkeavia arvoja.

Tunnusluku	Miten lasketaan	Milloin käytetään
Keskiarvo	Summa jaettuna lukumäärällä	Tasainen aineisto ilman ääriarvoja
Mediaani	Suuruusjärjestyksen keskimmäinen	Palkat, hinnat, aineisto jossa on ääriarvoja
Moodi	Useimmin esiintyvä arvo	Luokiteltu aineisto, yleisin vastaus

Miksi mediaani kertoo palkoista enemmän

Kuvitellaan yhdeksän työntekijää, joiden kuukausipalkka on 3000 euroa, ja yksi johtaja, jonka palkka on 30 000 euroa. Keskiarvo on 5700 euroa, vaikka yhdeksän kymmenestä ansaitsee 3000. Mediaani on 3000 euroa, joka kuvaa tilannetta paremmin.

Sama ilmiö näkyy asuntojen hinnoissa ja yritysten liikevaihdoissa. Kun aineistossa on muutama hyvin suuri arvo, keskiarvo kertoo enemmän niistä kuin tyypillisestä tapauksesta.

Yleisin virhe

Keskiarvojen keskiarvo ei ole kokonaisuuden keskiarvo, jos ryhmät ovat eri kokoisia. Oletetaan kaksi koeryhmää: ensimmäisessä 2 oppilasta keskiarvolla 9 ja toisessa 18 oppilasta keskiarvolla 5. Jos laskee keskiarvot yhteen ja jakaa kahdella, tulos on 7.

Oikea vastaus on 5,4. Se saadaan laskemalla kaikki pisteet yhteen ja jakamalla oppilasmäärällä: (2 × 9 + 18 × 5) / 20 = 108 / 20 = 5,4. Ero on 1,6 pistettä, koska pieni ryhmä sai saman painon kuin yhdeksän kertaa suurempi.

Tätä kutsutaan painotetuksi keskiarvoksi: jokainen arvo painotetaan sillä kuinka monta havaintoa se edustaa. Tavallinen keskiarvo on sen erikoistapaus, jossa kaikki painot ovat yhtä suuret. Sama virhe toistuu kun lasketaan yhteen eri pituisten jaksojen tuottoprosentteja tai eri kokoisten myymälöiden keskiostoksia.

Keskihajonta

Keskihajonta mittaa hajontaa keskiarvon ympärillä. Se lasketaan neliöimällä jokaisen luvun poikkeama keskiarvosta, laskemalla neliöt yhteen, jakamalla ja ottamalla neliöjuuri.

Tämä laskuri käyttää otoskeskihajontaa, jossa jakajana on lukumäärä vähennettynä yhdellä. Sitä käytetään kun luvut ovat otos suuremmasta joukosta. Jos aineisto kattaa koko perusjoukon, oikea jakaja olisi lukumäärä sellaisenaan.

Usein kysyttyä

Miten keskiarvo lasketaan?

Laske luvut yhteen ja jaa summa lukujen määrällä. Esimerkiksi lukujen 4, 6 ja 8 summa on 18, ja kun se jaetaan kolmella, keskiarvo on 6.

Mitä eroa on keskiarvolla ja mediaanilla?

Keskiarvo on summa jaettuna määrällä. Mediaani on suuruusjärjestyksen keskimmäinen luku. Yksittäinen poikkeava arvo siirtää keskiarvoa paljon mutta mediaania tuskin lainkaan, minkä vuoksi palkoista puhuttaessa käytetään yleensä mediaania.

Mikä on moodi?

Moodi on useimmin esiintyvä arvo. Jos kaikki luvut esiintyvät yhtä usein, moodia ei ole. Aineistolla voi olla myös useampi moodi, jos monta arvoa esiintyy yhtä monta kertaa.

Mitä keskihajonta kertoo?

Se kertoo kuinka kaukana luvut tyypillisesti ovat keskiarvosta. Pieni keskihajonta tarkoittaa että luvut ovat lähellä toisiaan, suuri että ne ovat hajallaan. Tämä laskuri käyttää otoskeskihajontaa.