Kolmion pinta-ala

Vastaus lyhyesti

Kolmion pinta-alan yleisin kaava on A = kanta kertaa korkeus jaettuna kahdella. Jos korkeutta ei tunneta mutta kaikki kolme sivua tunnetaan, käytä Heronin kaavaa. Jos tiedossa on kaksi sivua ja niiden välinen kulma, käytä kulma-kaavaa. Kaikki kolme antavat saman tuloksen samasta kolmiosta.

Kolme kaavaa

Kolmion pinta-alan voi laskea usealla tavalla riippuen siitä, mitä mittoja tunnetaan. Kaikki kolme antavat saman tuloksen oikeilla lähtötiedoilla.

Miksi kolme eri kaavaa on olemassa

Kolme kaavaa eivät ole kolme eri asiaa, vaan kolme tapaa laskea sama pinta-ala eri lähtötiedoista. Matemaattisesti kaikki kolme johdetaan samasta perusideasta: kolmio on puolet sitä ympäröivästä suorakulmiosta tai suunnikkaasta. Käytännön ero syntyy siitä, mitä on helpoin mitata tai mikä tieto on jo valmiiksi käytettävissä esimerkiksi piirustuksesta tai maastomittauksesta.

Kolmioepäyhtälö

Kolme lukua eivät aina muodosta kolmiota. Kolmioepäyhtälön mukaan minkä tahansa kahden sivun summan on oltava suurempi kuin kolmannen sivun pituus. Jos näin ei ole, kolmiota ei voi piirtää millään kulmilla ja laskuri näyttää virheen kentän alla.

Esimerkki kelvottomasta kolmiosta: sivut 2, 3 ja 6. Kahden lyhyemmän sivun summa on 5, joka on pienempi kuin pisin sivu 6, joten kolmiota ei ole olemassa.

Raja-arvo on erityistapaus: jos kahden lyhyemmän sivun summa on täsmälleen yhtä suuri kuin pisin sivu, kolmio on litistynyt suoraksi janaksi eikä sillä ole pinta-alaa. Tällöin laskuri ilmoittaa myös virheestä, vaikka luvut näyttäisivät ensi silmäyksellä kelvollisilta.

Esimerkkejä oikeilla luvuilla

Kanta ja korkeus. Kolmio, jonka kanta on 6 metriä ja korkeus 4 metriä, pinta-ala on 6 * 4 / 2 = 12 neliömetriä.

Heronin kaava. Kolmio, jonka sivut ovat 3, 4 ja 5 senttimetriä, on suorakulmainen (3^2 + 4^2 = 5^2). Puolittainen piiri s = (3+4+5)/2 = 6. Pinta-ala = neliojuuri(6*(6-3)*(6-4)*(6-5)) = neliojuuri(6*3*2*1) = neliojuuri(36) = 6 neliösenttimetriä.

Kaksi sivua ja kulma. Kolmio, jonka sivut ovat 5 ja 7 senttimetriä ja niiden välinen kulma 60 astetta, pinta-ala on (5 * 7 * sini(60 astetta)) / 2 = (35 * 0,866) / 2 = noin 15,2 neliösenttimetriä.

Tasasivuinen kolmio. Kolmio, jonka jokainen sivu on 8 senttimetriä, pinta-ala on (neliojuuri 3 / 4) * 8^2 = 0,433 * 64 = noin 27,7 neliösenttimetriä.

Kolmiotyypit ja pinta-alan laskenta

Kolmiot jaetaan sivujen ja kulmien perusteella eri tyyppeihin, ja tyyppi vaikuttaa siihen, mikä menetelmä on käytännössä helpoin. Terävässä kolmiossa kaikki kulmat ovat alle 90 astetta, tylpässä kolmiossa yksi kulma on yli 90 astetta, ja suorakulmaisessa kolmiossa yksi kulma on tasan 90 astetta. Sivujen perusteella kolmio voi olla tasasivuinen (kaikki sivut yhtä pitkät), tasakylkinen (kaksi sivua yhtä pitkät) tai eri sivuinen (kaikki sivut eri pituiset).

Suorakulmainen kolmio on helpoin tapaus, koska kaksi sivua toimivat suoraan kantana ja korkeutena. Muissa tapauksissa Heronin kaava on usein käytännöllisin, koska se ei vaadi minkään kulman mittaamista, vain kolme sivun pituutta.

Suorakulmaisen kolmion erikoistapaus

Suorakulmaisessa kolmiossa kaksi lyhyempää sivua, kateetit, ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Tämä tekee pinta-alan laskemisesta yksinkertaista: toinen kateetti on kanta ja toinen korkeus, joten pinta-ala on kateetti1 * kateetti2 / 2.

Pythagoraan lause a^2 + b^2 = c^2 liittää suorakulmaisen kolmion sivut toisiinsa, missä c on pisin sivu eli hypotenuusa. Jos kaksi sivua tunnetaan, kolmas voidaan ratkaista tästä yhtälöstä ennen pinta-alan laskemista.

Tasasivuinen kolmio

Tasasivuisella kolmiolla kaikki kolme sivua ovat yhtä pitkiä ja kaikki kulmat ovat 60 astetta. Sen pinta-ala lasketaan kaavalla A = (neliojuuri 3 / 4) * a^2, missä a on sivun pituus. Kaava on Heronin kaavan erikoistapaus: kun kaikki kolme sivua ovat yhtä pitkät, lauseke yksinkertaistuu tähän muotoon.

Heronin kaavan tausta

Heronin kaava on nimetty aleksandrialaisen matemaatikko Heronin mukaan, joka kuvasi sen ensimmäisen kerran noin ensimmäisellä vuosisadalla jaa. Kaava on hyödyllinen silloin kun korkeutta ei tunneta suoraan mutta kaikki kolme sivua on mitattu. Kaava johdetaan kanta-korkeus-kaavasta korvaamalla korkeus lausekkeella, joka riippuu vain sivujen pituuksista, joten kaikkia kolmion perusmuotoja voi käsitellä samalla yhtälöllä ilman kulmien mittaamista.

Käytännössä Heronin kaava on hyödyllinen esimerkiksi maanmittauksessa ja rakentamisessa, kun tontin tai rakenteen kolmiomainen osa mitataan sivuittain ilman että korkeutta pystyy mittaamaan suoraan. Sama tilanne tulee vastaan esimerkiksi metsäpalstan tai epäsäännöllisen tontin pinta-alan arvioinnissa, kun alue jaetaan pienempiin kolmioihin ja jokaisen sivut mitataan erikseen.

Yleisimmät virheet kolmion pinta-alan laskennassa

Yleisin virhe kanta-korkeus-menetelmässä on käyttää sivun pituutta korkeuden sijaan. Korkeus on aina kohtisuora etäisyys kannasta vastakkaiseen kärkeen, ei minkään sivun todellinen pituus, paitsi suorakulmaisessa kolmiossa kateettien tapauksessa. Jos kolmio on vino, korkeus on lyhyempi kuin sivu, jota vasten se on piirretty.

Toinen yleinen virhe on unohtaa jakaa kahdella: kanta kertaa korkeus antaa suorakulmion pinta-alan, ei kolmion. Kolmio on aina täsmälleen puolet vastaavasta suorakulmiosta, joten jako kahdella on pakollinen viimeinen vaihe.

Kulma-kaavassa yleisin virhe on käyttää kulmaa radiaaneina asteiden sijaan tai päinvastoin. Tämä laskuri olettaa kulman olevan asteina (0-180), ja taulukkolaskentaohjelmissa kulma pitää usein muuntaa radiaaneiksi ennen sinifunktion käyttöä, kuten alla olevat kaavaesimerkit näyttävät.

Kolmion pinta-ala käytännössä

Kolmiomuotoisia pinta-aloja tulee vastaan useammin kuin ensin ajattelisi: kattokolmion pinta-ala kattomateriaalin menekin laskennassa, kolmiomaisen tontin tai puutarhapalstan koon arviointi, purjeen pinta-ala veneilyssä ja kolmiomaisten rakenneosien, kuten tukirakenteiden tai kattoristikoiden, materiaalitarpeen laskeminen. Kaikissa näissä oikea menetelmä riippuu siitä, mitkä mitat on helpoin mitata: korkeus, kaikki kolme sivua vai kaksi sivua ja niiden välinen kulma.

Rakentamisessa ja suunnittelussa Heronin kaava on usein käytännöllisin, koska sivujen mittaaminen mittanauhalla on yksinkertaisempaa kuin korkeuden tai kulman mittaaminen tarkasti maastossa tai rakennuksella.

Purjeveneilyssä ja teltta- tai suojarakenteiden mitoituksessa kulma-menetelmä on usein käytännöllisin, koska kulmat ovat suunnittelun lähtökohta ja sivujen pituudet johdetaan niistä, ei toisin päin.

Excel- ja Google Sheets -kaavat

Jos sivut a, b ja c ovat soluissa A1, B1 ja C1, Heronin kaava kirjoitetaan Excelissä ja Sheetsissä samalla tavalla:

Huomaa RADIANS()-funktion tarve: sekä Excel että Sheets olettavat kulman olevan radiaaneina trigonometrisissä funktioissa, kuten SIN(). Jos kulma on syötetty asteina, se pitää muuntaa radiaaneiksi ennen sinifunktion käyttöä, muuten tulos on väärä ilman että kaava näyttää virheeltä.

Kolmion pinta-ala ja kiertokulma

Kolmion kulmien summa on aina 180 astetta, riippumatta kolmion muodosta tai koosta. Tämä on hyödyllinen tarkistus kulma-menetelmässä: jos tunnet kaksi kulmaa, kolmas saadaan vähentämällä molemmat 180 asteesta. Pinta-ala ei kuitenkaan riipu suoraan kulmien summasta vaan sivujen pituuksista ja niiden välisistä kulmista, joten kaksi eri kokoista kolmiota voivat olla muodoltaan samanlaisia (samat kulmat) mutta niiden pinta-alat voivat silti poiketa toisistaan huomattavasti.